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ALGORITMO QUE CALCULA OS PONTOS DE UM GRÁFICO QUADRÁTICO


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ALGORITMO QUE CALCULA OS PONTOS DE UM GRÁFICO QUADRÁTICO

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ALGORITMO QUE CALCULA OS PONTOS DE UM GRÁFICO QUADRÁTICO

USANDO A FÓRMULA DE BASKARA


Conforme demonstrado na imagem, o gráfico de uma função quadrática tem formato de uma parábola com cavidade voltada para cima se o elemento “a” da equação for maior que zero e cavidade voltada para baixo se o elemento “a” da equação for menor que zero, Sendo este gráfico, resultado de uma equação quadrática, equação de segundo grau.


A fórmula resolutiva para equações quadráticas do tipo ax² + bx + c = 0, recebe o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático do século XII e o último matemático medieval de grande destaque na índia.


O gráfico acima é resultado da seguinte equação:


-x² + 6x -5 = 0


onde:

a = -1

b = 6

c = -5


Para montar o gráfico são necessários quatro pontos no plano cartesiano que podem ser obtidos com os seguintes passos:


Seguindo a fórmula de Bhaskara temos:


Δ = b2–4.a.c

Δ = -12–4.(-1).(-5)

Δ = 16


Para x podemos ter até dois valores dados pela seguinte operação:


-b ± Δ

2.a


Ou seja


-(+6) ± 16

2.(-1)


-6 ± 16

-2


-6 ± 4

-2


X1 = (-6 + 4) : -2

x1 = -2 : -2

x1 = 1


x2 = (-6 - 4) : -2

x2 = -10 : -2

x2 = 5


Com isso temos os pontos do gráfico que interceptam o eixo x no plano cartesiano, no caso 1 e 5, e sabemos que o eixo y é interceptado no valor de “c”, ou seja em -5. Resta agora encontrar o quarto ponto, o vértice da parábola, resultado da intersecção entre outros dois pontos conhecidos como Xv(x do vértice), pois tem sua localização no eixo x e Yv(y do vértice), pois tem sua localização do eixo y. Para tanto basta usar as seguintes fórmulas:


Encontrando o Xv:


Xv = -b / (2.a)

Xv = -6 / (2.-1)

Xv = -6 / -2

Xv = 3


Uma outra forma de encontrar o Xv é calcular a média aritmética entre as duas raízes de x, exemplo:

Xv = (1+5)/3

Xv = 3


Encontrando o Yv:


Yv = -Δ / (4.a)

Yv = -16 / (4.-1)

Yv = -16 / -4

Yv = 4


logo, vértice = (3, 4)


Agora tempos os quatro pontos necessários para desenhar a parábola do gráfico, são eles:


c = -5

x1 = 1

x2 = 5

V = (3, 4)


Basta localizar os pontos e traçar o gráfico pare termos o resultado esboçado na imagem acima.


Com base no exemplo dado podemos perceber que temos três variáveis a serem lidas em nosso algoritmo: “a”, “b” e “c” e cinco fórmulas a serem implementadas. Sendo assim é necessário fazer a leitura dessas variáveis para que elas possam ser submetidas a fórmula de Bhaskara e demais fórmulas. Com isso, temos o seguinte algoritmo:


textbackground(3);

textcolor(1);

escreva('APP que calcula as coordenadas de um gráfico quadrático usando Bhaskara');

escrevaln('informe os elementos a, b e c da equação de 2º grau');


escrevaln('a');

leia($a);

escrevaln('b');

leia($b);

escrevaln('c');

leia($c);


leiaenter;


$x1 = (-$b + sqrt(pow($b,2)-4*$a*$c))/(2*$a); // Bhaskara para x1

$x2 = (-$b – sqrt(pow($b,2)-4*$a*$c))/(2*$a); // Bhaskara para x2

$xv = -$b / (2 * $a); // fórmula para encontrar o x do vértice

$delta = pow($b,2) - (4 * $a * $c); // fórmula para encontrar o delta

$yv = -$delta / (4 * $a); fórmula para encontrar o y do vértice


escrevaln('x1 = ', $x1);

escrevaln('x2 = ', $x2);

escrevaln('c = ', $c);

escrevaln('Xv = ', $xv);

escrevaln('Yv = ', $yv);

escrevaln('delta = ', $delta);


Cabe destacar que os comandos “escreva” e “escrevaln” produzem saída de dados, o primeiro sem quebra de linha e o segundo com quebra de linha. O comando “leia” e leitura/entrada de dados. O símbolo asterisco(*) é usado para multiplicação e barra(/) para divisão.


Já com relação ao processamento de dados temos as seguintes fórmulas para encontrar os valores de x1 e x2:


  • $x1 = (-$b + sqrt(pow($b,2)-4*$a*$c))/(2*$a); // Bhaskara para x1

  • $x2 = (-$b – sqrt(pow($b,2)-4*$a*$c))/(2*$a); // Bhaskara para x2

  • $xv = -$b / (2 * $a); // fórmula para encontrar o x do vértice

  • $delta = pow($b,2) - (4 * $a * $c); // fórmula para encontrar o delta

  • $yv = -$delta / (4 * $a); fórmula para encontrar o y do vértice


Onde “sqrt” é uma função para calcular raiz quadrada e “pow” é uma função para calcular potenciação, considerando que, na maioria das linguagens de programação, funções destinas a esse fim recebem esses nomes.


Com isso temos uma informação matemática transformada em uma informação automática por meio de um algoritmo.


ATIVIDADES


1) Implemente o algoritmo que gera os pontos do gráfico de uma função quadrática no interpretador de algoritmos disponível em http://www.rmfais.com/phpalgor


2) Usando o algoritmo que gera pontos necessários, monte o gráfico das seguintes equações:


a) x2 – 4x +3 = 0;

b) x2 – 2x -3 = 0;

c) x2 + 4x -3 = 0;





WebMaster: PROFESSOR RONI MARCIO FAIS
Formação: Bacharel em Ciência da Computação e Especialista em Administração, Supervisão e Orientação Educacional
E-mail: rmfais@yahoo.com.br


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