MATEMÁTICA:
ESTUDO DE FUNÇÃO - PARTE 04 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Conforme demonstrado na imagem, o
gráfico de uma função quadrática tem formato de uma parábola com
cavidade voltada para cima se o elemento “a” da equação for
maior que zero e cavidade voltada para baixo se o elemento “a” da
equação for menor que zero, Sendo este gráfico, resultado de uma
equação quadrática, equação de segundo grau.
A
fórmula resolutiva para equações quadráticas do tipo ax² + bx +
c = 0, recebe o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao
matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano Bhaskara
Akaria, considerado o mais importante matemático do século XII e o
último matemático medieval de grande destaque na índia.
O
gráfico acima é resultado da seguinte equação:
-x²
+ 6x -5 = 0
onde:
a
= -1
b
= 6
c
= -5
Para
montar o gráfico são necessários quatro pontos no plano cartesiano
que podem ser obtidos com os seguintes passos:
Seguindo
a fórmula de Bhaskara temos:
Δ
= b2–4.a.c
Δ
= 62–4.(-1).(-5)
Δ
= 16
Para x podemos ter até dois valores
dados pela seguinte operação:
Ou
seja
X1
= (-6 + 4) : -2
x1
= -2 : -2
x1
= 1
x2
= (-6 - 4) : -2
x2
= -10 : -2
x2
= 5
Com
isso temos os pontos do gráfico que interceptam o eixo x no plano
cartesiano, no caso 1 e 5, e sabemos que o eixo y é interceptado no
valor de “c”, ou seja em -5. Resta agora encontrar o quarto
ponto, o vértice da parábola, resultado da intersecção entre
outros dois pontos conhecidos como Xv(x do vértice), pois tem sua
localização no eixo x e Yv(y do vértice), pois tem sua localização
do eixo y. Para tanto basta usar as seguintes fórmulas:
Encontrando
o Xv:
Xv
= -b / (2.a)
Xv
= -6 / (2.-1)
Xv
= -6 / -2
Xv
= 3
Uma
outra forma de encontrar o Xv é calcular a média aritmética entre
as duas raízes de x, exemplo:
Xv
= (1+5)/2
Xv
= 3
Encontrando o Yv:
Yv
= -Δ /
(4.a)
Yv
= -16 / (4.-1)
Yv
= -16 / -4
Yv
= 4
logo,
vértice = (3, 4)
Agora
tempos os quatro pontos necessários para desenhar a parábola do
gráfico, são eles:
c
= -5
x1
= 1
x2
= 5
V
= (3, 4)
Para
concluir, basta localizar os pontos e traçar o gráfico para termos
o resultado esboçado na imagem acima.
ATIVIDADE
Monte
o gráfico das seguintes equações:
a)
x2 – 4x +3 = 0;
b)
x2 – 2x -3 = 0;
c)
x2 + 4x -3 = 0;